Γρίφοι - Σπαζοκεφαλιές - Προβλήματα

Όχι. Αν θες υπέθεσε ότι δεν υπάρχουν βουνά.

Η λογική είναι ίδια με ένα άλλο πρόβλημα που λέει:

Κάποιος βγαίνει από το σπίτι του, προχωράει 5 Km νότια, στη συνέχεια 5 Km δυτικά και στη συνέχεια 5 Km βόρεια και φτάνει και πάλι στο σπίτι του. Πώς γίνεται αυτό;

Μένει στον βόρειο πόλο.

Τώρα αυτό με το ελικόπτερο, αν παρεις μια υδρόγειο σφαίρα καταλήγεις στο οτι βρίσκεται πάλι στη Κέρκυρα. Δε μπορώ να φανταστώ γιατί να βρίσκεται αλλού.

Ένα ελικόπτερο απογειώνεται από το αεροδρόμιο της Κέρκυρας. Η διαδρομή του είναι 500 Km ανατολικά, στη συνέχεια 500 Km νότια, στη συνέχεια 500 Km δυτικά και στη συνέχεια 500 Km βόρεια. Μπορούμε να πούμε πού (ακριβώς ή περίπου) βρίσκεται;

ετσι ιπως το γραφεις,ειναι ακομα στην διαδικασια της απογειωσης...μετα απλα αναφερεις το που θα παει!

Όχι. Αν θες υπέθεσε ότι δεν υπάρχουν βουνά.

Η λογική είναι ίδια με ένα άλλο πρόβλημα που λέει:

Κάποιος βγαίνει από το σπίτι του, προχωράει 5 Km νότια, στη συνέχεια 5 Km δυτικά και στη συνέχεια 5 Km βόρεια και φτάνει και πάλι στο σπίτι του. Πώς γίνεται αυτό;

Μένει στον βόρειο πόλο.

 

Τώρα αυτό με το ελικόπτερο, αν παρεις μια υδρόγειο σφαίρα καταλήγεις στο οτι βρίσκεται πάλι στη Κέρκυρα. Δε μπορώ να φανταστώ γιατί να βρίσκεται αλλού.

Εκτός και αν βρίσκεται ελάχιστα πιο νοτιοανατολικά λόγω καμπυλότητας της Γης.

Εκτός και αν βρίσκεται ελάχιστα πιο νοτιοανατολικά λόγω καμπυλότητας της Γης.

Σωστά στο ΑΝΑΤΟΛΙΚΑ. Σωστά λόγω καμπυλότητας. Πιο καλά αφού η κίνηση προς βορρά και προς νότο είναι πάνω σε μεσημβρινούς, οι οποίοι ενώνονται στους πόλους και η Κέρκυρα και 500Km νοτιότερα βρίσκονται στο βόρειο ημισφαίριο, όσο κατεβαίνουμε νοτιότερα (μέχρι τον ισημερινό) οι μεσημβρινοί απέχουν περισσότερο.

ΝΟΤΙΑ γιατί; Αφού η κίνηση προς ανατολάς και η κίνηση προς δυσμάς είναι πάνω σε παράλληλους.

Ελάχιστα (1-2 Km) νόμιζα, αλλά είναι 25-30 Km. Από όσο μπορώ να το υπολογίσω, πρέπει να είναι μεταξύ των χωριών Σμέρτος και Ασπροκκλήσι λίγο πιο ανατολικά από τις εκβολές του ποταμού Καλαμά στη Θεσπρωτία. (Google Earth)

4 φίλοι έχουν ένα φακό που η μπαταρία του κρατάει 1 ώρα. Είναι βράδυ και θέλουν να περάσουν μία γέφυρα που σηκώνει μόνο 2 άτομα (υποτίθεται ότι όλοι ζυγίζουν το μισό από όσο μπορεί να σηκώσει η γέφυρα και λίγο λιγότερο ώστε να μπορούν να πάρουν και το φακό). Ο Α περνάει απέναντι σε 5 λεπτά (υποτίθεται το λιγότερο), ο Β σε 10, ο Γ σε 20 και ο Δ σε 25.

Πώς θα περάσουν απέναντι σε 60 λεπτά που κρατάει η μπαταρία;

Μια γάτα (Γ) βρίσκεται σε ένα τούνελ ΑΒ ώστε ΑΓ = (1/4)*ΑΒ. Ακούει το σφύριγμα ενός τρένου που πλησιάζει από την έξοδο Α. Αν τρέξει προς την έξοδο Α το τρένο την πατάει στο Α. Αν τρέξει προς την έξοδο Β το τρένο θα την πατήσει στο Β. Αν η ταχύτητα του τρένου είναι 60 Km/h, πόση είναι η ταχύτητα της γάτας;

εστω υ η ταχυτητα της γατας και s η αποσταση του τρενου απο το τουνελ.

το τρενο θα βρεθει στην εξοδο Α σε χρονο τ1=s/60. ο χρονος που χρειαζεται η γατα για να φτασει στην εξοδο Α ειναι τ=0,25ΑΒ/υ. αφου δεν προλαβαινει να φτασει στην εξοδο Α ο χρονος τ που χρειαζεται η γατα ειναι ισος του τ1.

τ1=τ

(0,25ΑΒ/υ)=(s/60)

15ΑΒ/s=υ

s=15AB/υ

τρεχοντας προς την εξοδο Β εχει να καλυψει 0,75ΑΒ σε χρονο τ΄=0,75ΑΒ/υ. το τρενο τοτε εχει καλυψει αποσταση (s+AB) σε χρονο τ2=(s+AB)/60 .

και παλι εχουμε τ΄=τ2

0,75ΑΒ/υ=(s+AB)/60

45AB/υ=s+AB αντικαθιστω οπου s=15ΑΒ/υ οποτε

45ΑΒ=15ΑΒ+υΑΒ

υ=30km/h

Σωστά στο ΑΝΑΤΟΛΙΚΑ. Σωστά λόγω καμπυλότητας. Πιο καλά αφού η κίνηση προς βορρά και προς νότο είναι πάνω σε μεσημβρινούς, οι οποίοι ενώνονται στους πόλους και η Κέρκυρα και 500Km νοτιότερα βρίσκονται στο βόρειο ημισφαίριο, όσο κατεβαίνουμε νοτιότερα (μέχρι τον ισημερινό) οι μεσημβρινοί απέχουν περισσότερο.

ΝΟΤΙΑ γιατί; Αφού η κίνηση προς ανατολάς και η κίνηση προς δυσμάς είναι πάνω σε παράλληλους.

Ελάχιστα (1-2 Km) νόμιζα, αλλά είναι 25-30 Km. Από όσο μπορώ να το υπολογίσω, πρέπει να είναι μεταξύ των χωριών Σμέρτος και Ασπροκκλήσι λίγο πιο ανατολικά από τις εκβολές του ποταμού Καλαμά στη Θεσπρωτία. (Google Earth)

Τώρα το διάβασα και το κατάλαβα κατευθείαν. Respect. Είναι όντως καλό. Για να ξαναβγεί Κέρκυρα έπρεπε να κινηθεί σε τραπέζιο ουσιαστικά...

εστω υ η ταχυτητα της γατας και s η αποσταση του τρενου απο το τουνελ.

το τρενο θα βρεθει στην εξοδο Α σε χρονο τ1=s/60. ο χρονος που χρειαζεται η γατα για να φτασει στην εξοδο Α ειναι τ=0,25ΑΒ/υ. αφου δεν προλαβαινει να φτασει στην εξοδο Α ο χρονος τ που χρειαζεται η γατα ειναι ισος του τ1.

τ1=τ

(0,25ΑΒ/υ)=(s/60)

1,5ΑΒ/s=υ

s=1,5AB/υ

τρεχοντας προς την εξοδο Β εχει να καλυψει 0,75ΑΒ σε χρονο τ΄=0,75ΑΒ/υ. το τρενο τοτε εχει καλυψει αποσταση (s+AB) σε χρονο τ2=(s+AB)/60 .

και παλι εχουμε τ΄=τ2

0,75ΑΒ/υ=(s+AB)/60

4,5AB/υ=s+AB αντικαθιστω οπου s=1,5ΑΒ/υ οποτε

4,5ΑΒ=1,5ΑΒ+υΑΒ

υ=3km/h

Έμένα μου βγήκε ότι η ταχύτητα της γάτας είναι 30km/h....

Το έλυσα αλλιώς. Παίζει να μου ξέφυγε και κανά μηδενικό, αλλά βαριέμαι να το ξανακάνω...

Έμένα μου βγήκε ότι η ταχύτητα της γάτας είναι 30km/h....

Το έλυσα αλλιώς. Παίζει να μου ξέφυγε και κανά μηδενικό, αλλά βαριέμαι να το ξανακάνω...

μπορει να ξεχασα εγω το μηδενικο....πανε χρονια που τελειωσα τη β γυμνασιου...

...το διορθωσα....

Τώρα το διάβασα και το κατάλαβα κατευθείαν. Respect. Είναι όντως καλό. Για να ξαναβγεί Κέρκυρα έπρεπε να κινηθεί σε τραπέζιο ουσιαστικά...

Σε σφαιρικό τραπέζιο.

μπορει να ξεχασα εγω το μηδενικο....πανε χρονια που τελειωσα τη β γυμνασιου...

...το διορθωσα....

Μια πιο απλή εξήγηση: Αν η γάτα κινηθεί προς Β, όταν φτάσει στη μέση Μ του ΑΒ το τρένο θα φτάσει στο Α!! Έτσι στη συνέχεια η γάτα θα κάνει τη μισή αποσταση (την ΜΒ), ενώ το τρένο ολόκληρη (την ΑΒ). Άρα η γάτα θα τρέχει με τη μισή ταχύτητα δηλαδή με 30 Km/h.

Στη σελίδα 82 στη θέση της γάτας έβαλα ένα άλλο. Αν θέλετε κοιτάξτε το ...

Μου το έχουν ξαναπεί αυτό που έβαλες με το φακό, οπότε δεν λέω τη λύση. Ας το βρει κάποιος άλλος...

Όσο οι υπόλοιποι το παλεύουν, για να σε κρατήσω σε ετοιμότητα:), έχε ένα άλλο.

Έχουμε 3000 μπανάνες και θέλουμε να μεταφέρουμε όσες περισσότερες μπορούμε από το σημείο Α στο σημείο Β που απέχει 1000 Km. Έχουμε και ένα ελέφαντα που σηκώνει μέχρι 1000 μπανάνες. Όμως τρώει 1 μπανάνα/Km. Πόσες μπανάνες μπορούμε να πάμε στο Β;

Μία; :rolleyes:

Όχι. Πολλές περισσότερες...

Όσο οι υπόλοιποι το παλεύουν, για να σε κρατήσω σε ετοιμότητα:), έχε ένα άλλο.

Έχουμε 3000 μπανάνες και θέλουμε να μεταφέρουμε όσες περισσότερες μπορούμε από το σημείο Α στο σημείο Β που απέχει 1000 Km. Έχουμε και ένα ελέφαντα που σηκώνει μέχρι 1000 μπανάνες. Όμως τρώει 1 μπανάνα/Km. Πόσες μπανάνες μπορούμε να πάμε στο Β;

Αν αναλογιστούμε οτι ο ελέφαντας τρώει και στην επιστροφή, δεν μπορούμε να μεταφέρουμε καμία....

Εκτός και αν παίζει κάτι με πάρα πολλές διαδρομές οπου θα αφήνουμε τις μπανάνες σε ενδιάμεσα σημεία και θα γυρίζουμε πίσω για να φέρνουμε κι αλλες, κάτι το οποίο δεν μπορώ να σκεφτώ καθαρά τώρα.

Εκτός και αν παίζει κάτι με πάρα πολλές διαδρομές οπου θα αφήνουμε τις μπανάνες σε ενδιάμεσα σημεία και θα γυρίζουμε πίσω για να φέρνουμε κι αλλες.

Έτσι είναι.

Σίγουρα το πρώτο ενδιάμεσο σημείο πρεπει να είναι λιγότερο από ... (συνεχίζω) 500Km

(Υπάρχει και το άλλο αναπάντητο πρόβλημα #1230 στη σελίδα 82)

Όσο οι υπόλοιποι το παλεύουν, για να σε κρατήσω σε ετοιμότητα:), έχε ένα άλλο.

Έχουμε 3000 μπανάνες και θέλουμε να μεταφέρουμε όσες περισσότερες μπορούμε από το σημείο Α στο σημείο Β που απέχει 1000 Km. Έχουμε και ένα ελέφαντα που σηκώνει μέχρι 1000 μπανάνες. Όμως τρώει 1 μπανάνα/Km. Πόσες μπανάνες μπορούμε να πάμε στο Β;

Τώρα είδα το πρόβλημα. Έχω βρει έναν τρόπο να πάμε 500 μπανάνες από το Α στο Β.

Λοιπόν, αρχικά φορτώνουμε 1000 και τις πάμε μέχρι το 1/4 της διαδρομής. Οπότε μένουν 2000 στο Α και μέχρι να πάμε στο 1/4 ο ελέφαντας έχει φάει 250. Οπότε έχουμε 750 πάνω στον ελέφαντα. Αφήνουμε τις 500 εκεί και κρατάμε 250 στον ελέφαντα για να ξαναγυρίσουμε στο Α. Κάνουμε την ίδια διαδικασία ξανά οπότε μέχρι να ξαναγυρίσουμε έχουν μείνει 1000 στο Α και 1000 στο ενδιάμεσο. Φορτώνουμε τις 1000 από το Α και μέχρι να ξαναφτάσω στο ενδιάμεσο μου έχουν μείνει 1750 συνολικά. Φορτώνω τις 1000 και τις πάω μέχρι τη μέση με την ίδια διαδικασία, οπότε αφήνω 500 στη μέση και ξαναγυρνάω στο 1/4 όπου φορτώνω τις υπόλοιπες 750 και πηγαίνω πάλι στη μέση με 500. Οπότε έχω καταφέρει να είμαι στη μέση με 1000 μπανάνες συνολικά. Ε τότε τις φορτώνω όλες και μέχρι το τέλος μου μένουν 500.

edit: τώρα είδα την απάντηση που έδωσες με ενδιάμεσα. Οπότε πολύ πιθανόν να υπάρχει καλύτερος τρόπος. Εγώ έγραψα αυτόν που μου έκατσε πρώτα στο μυαλό...

Τώρα είδα το πρόβλημα. Έχω βρει έναν τρόπο να πάμε 500 μπανάνες από το Α στο Β.

Λοιπόν, αρχικά φορτώνουμε 1000 και τις πάμε μέχρι το 1/4 της διαδρομής. Οπότε μένουν 2000 στο Α και μέχρι να πάμε στο 1/4 ο ελέφαντας έχει φάει 250. Οπότε έχουμε 750 πάνω στον ελέφαντα. Αφήνουμε τις 500 εκεί και κρατάμε 250 στον ελέφαντα για να ξαναγυρίσουμε στο Α. Κάνουμε την ίδια διαδικασία ξανά οπότε μέχρι να ξαναγυρίσουμε έχουν μείνει 1000 στο Α και 1000 στο ενδιάμεσο. Φορτώνουμε τις 1000 από το Α και μέχρι να ξαναφτάσω στο ενδιάμεσο μου έχουν μείνει 1750 συνολικά. Φορτώνω τις 1000 και τις πάω μέχρι τη μέση με την ίδια διαδικασία, οπότε αφήνω 500 στη μέση και ξαναγυρνάω στο 1/4 όπου φορτώνω τις υπόλοιπες 750 και πηγαίνω πάλι στη μέση με 500. Οπότε έχω καταφέρει να είμαι στη μέση με 1000 μπανάνες συνολικά. Ε τότε τις φορτώνω όλες και μέχρι το τέλος μου μένουν 500.

 

edit: τώρα είδα την απάντηση που έδωσες με ενδιάμεσα. Οπότε πολύ πιθανόν να υπάρχει καλύτερος τρόπος. Εγώ έγραψα αυτόν που μου έκατσε πρώτα στο μυαλό...

Πολύ ωραία.

Αν τα ενδιάμεσα σημεία είναι 230 και 513 πάμε 513 και πετάμε 1. Θα υπάρχει και τρόπος με περισσότερες (αν μάλιστα πάμε και σε δεκαδικά)

Με 200 και 533, πάμε 533 και περισεύει μία. Νομίζω ότι είναι η καλύτερη (ακέραιη) λύση.

Με ένα ενδιάμεσο σημείο, το 400 είναι η καλύτερη και πάμε 400.

Με τρία ενδιάμεσα νομίζω δεν κερδίζουμε παραπάνω (από 533)

(συνεχίζοντας)

Το πρώτο (ή το μοναδικό) ενδιάμεσο σημείο πρέπει νε είναι λιγότερο από 500 Km.

Με ένα ενδιάμεσο σημείο η καλύτερη θέση είναι στα 400 Km, ώστε να μείνουν εκεί 1000 μπανάνες για τα επόμενα 600 Km, οπότε στο Β πηγαίνουμε 400 μπανάνες.

Με δύο ενδιάμεσα σημεία η καλύτερη θέση για το πρώτο είναι τα 200 Km, ώστε να μείνουν εκεί 2000 μπανάνες και για το δεύτερο τα 533 Km, ώστε να μείνουν 1000 μπανάνες (1000 και 1 περισσεύει) για τα επόμενα 467 Km, οπότε στο Β πηγαίνουμε 533 μπανάνες (με δεκαδικά στο 533,3333…., οπότε και τόσες είναι οι τελικές).

Με τρία ενδιάμεσα σημεία: (μερικές σκέψεις)

Το πρώτο ενδιάμεσο πρέπει να είναι λιγότερο από 200 Km, έστω στο α, οπότε θα μαζευτούν εκεί 3000-5α μπανάνες, οι οποίες είναι περισσότερες από 2000. Αν το δεύτερο ενδιάμεσο σημείο είναι στα β χιλιόμετρα, θα μαζευτούν εκεί 3000-5β μπανάνες! Όμως εκεί, αφού θα κάνουμε και άλλη μία στάση, για να έχουμε την καλύτερη λύση, θα πρέπει να μαζευτούν 2000 μπανάνες! Άρα το β=200, οπότε το α σημείο είναι άχρηστο, δεν πετυχαίνουμε δηλαδή κάτι παραπάνω.

To 533 βρήκε και μία συνάδελφός μου. Αλλά επιμένει ότι υπάρχει και καλύτερη λύση με 3 στάσεις. Εγώ θεωρώ ότι η λύση είναι το ακρότατο μιας πολύπλοκης συνάρτησης με 2 βασικές μεταβλητές: τον αριθμό των στάσεων και την απόσταση μεταξύ τους. Πολύ πιθανόν βέβαια το ακρότατο αυτό να είναι με 2 στάσεις, οπότε η λύση είναι πολύ πιο απλή. Βασικά είναι αυτή που γράφεις. Μπράβο, ωραίος γρίφος. Keep on the good working! :)

edit: Τώρα διάβασα καλύτερα την απάντησή σου. Έχεις δίκιο, δεν έχουν νόημα οι τρεις στάσεις. Μίλησα και με τη φίλη μου και είχε φτάσει και αυτή στο ίδιο συμπέρασμα. Άρα θεωρώ ότι the puzzle has been sold... Μπράβο Kostas...

To 533 βρήκε και μία συνάδελφός μου. Αλλά επιμένει ότι υπάρχει και καλύτερη λύση με 3 στάσεις. Εγώ θεωρώ ότι η λύση είναι το ακρότατο μιας πολύπλοκης συνάρτησης με 2 βασικές μεταβλητές: τον αριθμό των στάσεων και την απόσταση μεταξύ τους. Πολύ πιθανόν βέβαια το ακρότατο αυτό να είναι με 2 στάσεις, οπότε η λύση είναι πολύ πιο απλή. Βασικά είναι αυτή που γράφεις. Μπράβο, ωραίος γρίφος. Keep on the good working! :)

 

edit: Τώρα διάβασα καλύτερα την απάντησή σου. Έχεις δίκιο, δεν έχουν νόημα οι τρεις στάσεις. Μίλησα και με τη φίλη μου και είχε φτάσει και αυτή στο ίδιο συμπέρασμα. Άρα θεωρώ ότι the puzzle has been sold... Μπράβο Kostas...

Σ' ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια. Αποζημίωσα λιγάκι μετά την ατυχή στιγμή με το φρενάρισμα αυτοκινήτου.

Δεν έχει απαντηθεί ακόμα το:

4 φίλοι έχουν ένα φακό που η μπαταρία του κρατάει 1 ώρα. Είναι βράδυ και θέλουν να περάσουν μία γέφυρα που σηκώνει μόνο 2 άτομα (υποτίθεται ότι όλοι ζυγίζουν το μισό από όσο μπορεί να σηκώσει η γέφυρα και λίγο λιγότερο ώστε να μπορούν να πάρουν και το φακό). Ο Α περνάει απέναντι σε 5 λεπτά (υποτίθεται το λιγότερο), ο Β σε 10, ο Γ σε 20 και ο Δ σε 25.

Πώς θα περάσουν απέναντι σε 60 λεπτά που κρατάει η μπαταρία;

4 φίλοι έχουν ένα φακό που η μπαταρία του κρατάει 1 ώρα. Είναι βράδυ και θέλουν να περάσουν μία γέφυρα που σηκώνει μόνο 2 άτομα (υποτίθεται ότι όλοι ζυγίζουν το μισό από όσο μπορεί να σηκώσει η γέφυρα και λίγο λιγότερο ώστε να μπορούν να πάρουν και το φακό). Ο Α περνάει απέναντι σε 5 λεπτά (υποτίθεται το λιγότερο), ο Β σε 10, ο Γ σε 20 και ο Δ σε 25.

Πώς θα περάσουν απέναντι σε 60 λεπτά που κρατάει η μπαταρία;

Βγαίνει ακριβώς αν ο Γ περνούσε σε 15 λεπτά. Πάει ο Α με τον Δ (25'), επιστρέφει ο Α (5'), πάει να πάρει τον Γ (15' αλλά το πρόβλημα λέει 20'), ξανά πίσω ο Α (5') και τελικό πέρασμα ο Α με τον Β (10'). Ίσως στην δεύτερη επιστροφή του Α να ερχόταν με σβηστό φακό διότι γνωρίζει τη διαδρομή ? :rolleyes:

Βγαίνει ακριβώς αν ο Γ περνούσε σε 15 λεπτά. Πάει ο Α με τον Δ (25'), επιστρέφει ο Α (5'), πάει να πάρει τον Γ (15' αλλά το πρόβλημα λέει 20'), ξανά πίσω ο Α (5') και τελικό πέρασμα ο Α με τον Β (10'). Ίσως στην δεύτερη επιστροφή του Α να ερχόταν με σβηστό φακό διότι γνωρίζει τη διαδρομή ? :rolleyes:

Βγαίνει με 5, 10, 20, 25.

Μια "μικρή" βοήθεια, πάει πρώτα ο Α με τον Β!

Μια "μικρή" βοήθεια, πάει πρώτα ο Α με τον Β!

Έτσι όπως το σκέφτομαι δεν έχει σημμασία ποιος θα πάει πρώτα ή μετά, αφού ο Α θα επιστρέφει για να φέρνει πίσω τον φακό.. Κάποιος τρόπος όμως θα υπάρχει, μάλλον χρειάζεται σκέψη 'out of the box'.