Γρίφοι - Σπαζοκεφαλιές - Προβλήματα

[MARANELO]

Θα αναφερω ενα παραδειγμα που δειχνει πως ξεχωριζουν τα μεγαλα μαθηματικα μυαλα,το παραδειγμα αναφερεται στον μεγαλο Γερμανο μαθηματικο Gauss ο οποιος σε ηλικια 5 ετων κρατουσε τα λογιστικα βιβλια του πατερα του.Μια μερα ο δασκαλος για να τους απασχολησει τους εβαλε ενα προβλημα,το προβλημα ηταν να μετρησουν το αθροισμα ολων των αριθμων απο το 1 εως και το 100 και να του το πουν.Ο δασκαλος την προηγουμενη μερα ειχε αθροισει ολους τους αριθμους και μετα απο αρκετα λεπτα ειχε βγαλει το αποτελεσμα 5050 το οποιο ειναι και το σωστο και αφου αυτος ειχε χασει αρκετα λεπτα για να το υπολογησει σκεφτηκε οτι οι μαθητες του θα κανουν πανω απο ωρα,μιλαμε για ηλικιες μαθητων 8-9 χρονων.Μεσα σε ενα λεπτο περιπου πεταγεται η διανοια ο Gauss και αναφερει στον δασκαλο του το αθροισμα 5050 ενω τα αλλα παιδακια προσπαθουσαν να καταλαβουν ακομα τι ζητουσε το προβλημα.Σε ερωτηση του δασκαλου πως το εβγαλες το αποτελεσμα τοσο γρηγορα ο μεγαλος μαθηματικος ειπε το εξης απλο.

Εβαλε ολους τους αριθμους σε σειρα 1+2+3+........+98+99+100 (τους μεσσαιους δεν τους εβαλε απλως σχηματισε την σειρα με τους αρχικους και τελικους αριθμους)

αν παρω τον πρωτο αριθμο και τον τελευταιο της σειρας θα εχω αθροισμα 1+100=101

αν παρω τον δευτερο και τον πρωτελευταιο της σειρα θα εχω αθροισμα 2+99=101

και γενικα αν παιρνω εναν αριθμο απο την αρχη και τον αντιστοιχο του απο το τελος θα εχω αθροισμα 101,οποτε ποσα τετοια ζευγαρια αριθμων θα εχω ,καποια στιγμη θα παρω το 50+51=101.

 

Αρα 50 ζευγαρια επι 101 που μας κανει το αθροισμα καθε ζευγαριου θα εχω 50 επι 101=5050.

[giorgaras55]

1-2, 2-3, ..., 14-15. 14 μέρες

 

Θα μπορουσες σε λιγοτερο απο 14 μερες?

[dkaralis]

Μονο αν ηταν στο πρωτο ή στο δευτερο ντουλαπι θα το εβρισκες νωριτερα.Αλλιως πας αναγκαστικα στις 14 μερες.

[giorgaras55]

Μονο αν ηταν στο πρωτο ή στο δευτερο ντουλαπι θα το εβρισκες νωριτερα.Αλλιως πας αναγκαστικα στις 14 μερες.

Mη βιαζεσαι. Ξανασκεψου το.

[FIORANO]

Κανενας δεν μας υποχρεωνει τα δυο ντουλαπια που ανοιγουμε να ειναι τα διπλανα,αρα

πρωτη μερα ανοιγω τα 1-15

δευτερη μερα ανοιγω τα 2-14

τριτη μερα ανοιγω τα 3-13

τεταρτη μερα ανοιγω τα 4-12

πεμπτη μερα ανοιγω τα 5-11

εκτη μερα ανοιγω τα 6-10

εβδομη μερα ανοιγω τα 7-9 ετσι το πρωι της εβδομης ημερας που θα ανοιξω τα 7-9 αν το μπαλακι ειχε μεινει στο 8 θα πρεπει το βραδυ να μετακινηθει σε ενα διπλανο οποτε να φυγει απο το οκτω και ετσι χρειαζομαι 7 ημερες μονο

[giorgaras55]

Κανενας δεν μας υποχρεωνει τα δυο ντουλαπια που ανοιγουμε να ειναι τα διπλανα,αρα

πρωτη μερα ανοιγω τα 1-15

δευτερη μερα ανοιγω τα 2-14

τριτη μερα ανοιγω τα 3-13

τεταρτη μερα ανοιγω τα 4-12

πεμπτη μερα ανοιγω τα 5-11

εκτη μερα ανοιγω τα 6-10

εβδομη μερα ανοιγω τα 7-9 ετσι το πρωι της εβδομης ημερας που θα ανοιξω τα 7-9 αν το μπαλακι ειχε μεινει στο 8 θα πρεπει το βραδυ να μετακινηθει σε ενα διπλανο οποτε να φυγει απο το οκτω και ετσι χρειαζομαι 7 ημερες μονο

Φυσικα κανενας δεν σε υποχρεωνει να ανοιγεις 2 διπλανα ντουλαπια, απλα δεν καταλαβαινω πως κατεληξες σ' αυτο το συμπερασμα. Κατ' αρχας διαβασες το γριφο? Ο γριφος λεει οτι καθε βραδυ στις 21 το μπαλακι μετακινειται σε ενα διπλανο ντουλαπι. Λες λοιπον 1η μερα ανοιγεις 1-15, δευτερη 2-14, τριτη 3-13 κτλ. Σου λεω λοιπον οτι τη 1η μερα το μπαλακι ειναι στο 4ο ντουλαπι, τη 2η μερα το μπαλακι ειναι στο 3ο ντουλαπι και την 3η μερα ειναι στο 2ο ντουλαπι. Πως λοιπον θα το βρεις σε 7 μερες?

[KostasZK]

Τα ντουλάπια που θα ανοίγω, μένουν ανοικτά;

Αν ναι 4 μέρες. 1-15, 3-13, 5-11, 7-9.

Αν όχι 13. 1-2, 2-3, ..., 13-14.

Edited July 12, 2010 by KostasZK

[giorgaras55]

Τα ντουλάπια που θα ανοίγω, μένουν ανοικτά;

Αν ναι 4 μέρες. 1-15, 3-13, 5-11, 7-9.

Αν όχι 13. 1-2, 2-3, ..., 13-14.

 

Oχι τα ντουλαπια δεν μενουν ανοιχτα. Πως λες οτι θελεις 13 μερες? Οταν ανοιγεις 13-14 μπορει το μπαλακι να ειναι στο 15ο ντουλαπι. Εν πασει περιπτωσει πρεπει να σκεφτεις αλλη στρατηγικη για να βρεις το μπαλακι σε λιγοτερο απο 14 μερες.

[KostasZK]

Oχι τα ντουλαπια δεν μενουν ανοιχτα. Πως λες οτι θελεις 13 μερες? Οταν ανοιγεις 13-14 μπορει το μπαλακι να ειναι στο 15ο ντουλαπι. Εν πασει περιπτωσει πρεπει να σκεφτεις αλλη στρατηγικη για να βρεις το μπαλακι σε λιγοτερο απο 14 μερες.

 

Αφού δεν είναι στα 14 πρώτα θα είναι στο 15ο!

Θέλεις λιγότερες από 13;

[giorgaras55]

Αφού δεν είναι στα 14 πρώτα θα είναι στο 15ο!

Θέλεις λιγότερες από 13;

 

Φιλε Κωστα σου εξηγησα οτι με τη λογικη αυτη βρισκεις το μπαλακι σε 14 μερες και οχι σε 13. Αυτο ομως δεν αρκει. Εγω σου ζηταω να βρεις το μπαλακι σε λιγοτερες μερες χρησιμοποιώντας αλλο σκεπτικο(στρατηγικη). Και σε τελικη αναλυση δεν μετραει τι θελω εγω αλλα τι ειναι εφικτο. Σου λεω λοιπον οτι ειναι εφικτο να βρεθει το μπαλακι σε λιγοτερο απο 13 μερες.

[KostasZK]

Φιλε Κωστα σου εξηγησα οτι με τη λογικη αυτη βρισκεις το μπαλακι σε 14 μερες και οχι σε 13. Αυτο ομως δεν αρκει. Εγω σου ζηταω να βρεις το μπαλακι σε λιγοτερες μερες χρησιμοποιώντας αλλο σκεπτικο(στρατηγικη). Και σε τελικη αναλυση δεν μετραει τι θελω εγω αλλα τι ειναι εφικτο. Σου λεω λοιπον οτι ειναι εφικτο να βρεθει το μπαλακι σε λιγοτερο απο 13 μερες.

 

Δεν το βλέπω, αλλά καταλαβαίνω ότι είναι στο 15ο μετά από 13 μέρες.

Όμως αφού γίνεται με λιγότερες από 13 είναι λάθος.

[giorgaras55]

Δεν το βλέπω, αλλά καταλαβαίνω ότι είναι στο 15ο μετά από 13 μέρες.

Όμως αφού γίνεται με λιγότερες από 13 είναι λάθος.

 

Για να σε βοηθησω σου λεω το εξης.Χωρισε τα ντουλαπια σε 2 ομαδες και ασχολησου μονο με την μια εξ αυτων.:!:

[Demetris]

Μηπως είναι 12;

(με αριθμους συμβολιζουμε τα ντουλαπια και με γραμματα τις μερες)

Α)2-4,Β)2-4,Γ)4-5,Δ)5-6,Ε)6-7,ΣΤ)7-8,Ζ)8-9,Η)9-10,Θ)10-11,Ι)11-12,ΙΑ)12-14,ΙΒ)12-14

[giorgaras55]

Μηπως είναι 12;

(με αριθμους συμβολιζουμε τα ντουλαπια και με γραμματα τις μερες)

Α)2-4,Β)2-4,Γ)4-5,Δ)5-6,Ε)6-7,ΣΤ)7-8,Ζ)8-9,Η)9-10,Θ)10-11,Ι)11-12,ΙΑ)12-14,ΙΒ)12-14

 

Eτσι ακριβως. Η λυση που εμμεσα προτεινα εγω αναφερομενος σε ομαδες ειναι η εξης. 2-4,2-4,4-6,4-6,6-8,6-8,8-10,8-10,10-12,10-12,12-14,12-14, αρα 12 μερες. Να το αλλαξουμε λιγο. Το ιδιο προβλημα με τη μόνη διαφορα οτι καθε μερα ψαχνουμε ενα ντουλαπι και οχι δυο. Σε ποσες μερες μπορουμε να βρουμε το μπαλακι?

[Demetris]

Eτσι ακριβως. Η λυση που εμμεσα προτεινα εγω αναφερομενος σε ομαδες ειναι η εξης. 2-4,2-4,4-6,4-6,6-8,6-8,8-10,8-10,10-12,10-12,12-14,12-14, αρα 12 μερες. Να το αλλαξουμε λιγο. Το ιδιο προβλημα με τη μόνη διαφορα οτι καθε μερα ψαχνουμε ενα ντουλαπι και οχι δυο. Σε ποσες μερες μπορουμε να βρουμε το μπαλακι?

 

Αρχικά το σκέφτηκα όπως λες εσύ αλλά μετά θεώρησα ότι γίνεται πιο εύκολα κατανοητό με τον τρόπο που ανάφερα πιο πάνω στις ίδιες μέρες για αυτό πρότεινα τον δεύτερο τρόπο. Όσο για το νέο ερώτημα… η αρχική μου απάντηση θα ήταν το άπειρο..αλλά θα το σκεφτώ και θα επανέλθω

[Demetris]

Θα αναφερω ενα παραδειγμα που δειχνει πως ξεχωριζουν τα μεγαλα μαθηματικα μυαλα,το παραδειγμα αναφερεται στον μεγαλο Γερμανο μαθηματικο Gauss ο οποιος σε ηλικια 5 ετων κρατουσε τα λογιστικα βιβλια του πατερα του.Μια μερα ο δασκαλος για να τους απασχολησει τους εβαλε ενα προβλημα,το προβλημα ηταν να μετρησουν το αθροισμα ολων των αριθμων απο το 1 εως και το 100 και να του το πουν.Ο δασκαλος την προηγουμενη μερα ειχε αθροισει ολους τους αριθμους και μετα απο αρκετα λεπτα ειχε βγαλει το αποτελεσμα 5050 το οποιο ειναι και το σωστο και αφου αυτος ειχε χασει αρκετα λεπτα για να το υπολογησει σκεφτηκε οτι οι μαθητες του θα κανουν πανω απο ωρα,μιλαμε για ηλικιες μαθητων 8-9 χρονων.Μεσα σε ενα λεπτο περιπου πεταγεται η διανοια ο Gauss και αναφερει στον δασκαλο του το αθροισμα 5050 ενω τα αλλα παιδακια προσπαθουσαν να καταλαβουν ακομα τι ζητουσε το προβλημα.Σε ερωτηση του δασκαλου πως το εβγαλες το αποτελεσμα τοσο γρηγορα ο μεγαλος μαθηματικος ειπε το εξης απλο.

Εβαλε ολους τους αριθμους σε σειρα 1+2+3+........+98+99+100 (τους μεσσαιους δεν τους εβαλε απλως σχηματισε την σειρα με τους αρχικους και τελικους αριθμους)

αν παρω τον πρωτο αριθμο και τον τελευταιο της σειρας θα εχω αθροισμα 1+100=101

αν παρω τον δευτερο και τον πρωτελευταιο της σειρα θα εχω αθροισμα 2+99=101

και γενικα αν παιρνω εναν αριθμο απο την αρχη και τον αντιστοιχο του απο το τελος θα εχω αθροισμα 101,οποτε ποσα τετοια ζευγαρια αριθμων θα εχω ,καποια στιγμη θα παρω το 50+51=101.

 

Αρα 50 ζευγαρια επι 101 που μας κανει το αθροισμα καθε ζευγαριου θα εχω 50 επι 101=5050.

 

Δεν έγινε ακριβώς έτσι όπως αναφέρεις. Από ότι μας είπαν στο πανεπιστήμιο αυτό έγινε κάπως τυχαία. Ουσιαστικά ο Gauss “τιμωρήθηκε” από τον δάσκαλο του να βρει το άθροισμα των αριθμών που αναφέρεις γιατί ήταν άτακτος στο μάθημα. Ξεκινώντας ο Gauss να γραφεί τους αριθμούς για να τους προσθέσει και στον αριθμό 50 αναγκάστηκε να αλλάξει γραμμή γιατί γέμισε αλλά τυχαία ξεκίνησε να γράφει τους αριθμούς ανάποδα (δηλαδή ενώ στην πρώτη γραμμή έγραψε 1,2,3…,50 στην δεύτερη έγραψε 100,99,…,51) στην συνέχεια πρόσθεσε τους αριθμούς που ήταν ο ένας κάτω από τον άλλο(όπως κάναμε όλοι στο δημοτικό)και έτσι πρόεκυψαν το 101* 51 που αναφέρεις πιο πάνω. Το σημαντικό όμως δεν είναι ότι βρήκε το άθροισμα των 100 πρώτων ορών αλλά οτι ηταν η αρχή για να βρεθεί ο τύπος του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου

[KostasZK]

Δεν έγινε ακριβώς έτσι όπως αναφέρεις. Από ότι μας είπαν στο πανεπιστήμιο αυτό έγινε κάπως τυχαία. Ουσιαστικά ο Gauss “τιμωρήθηκε” από τον δάσκαλο του να βρει το άθροισμα των αριθμών που αναφέρεις γιατί ήταν άτακτος στο μάθημα. Ξεκινώντας ο Gauss να γραφεί τους αριθμούς για να τους προσθέσει και στον αριθμό 50 αναγκάστηκε να αλλάξει γραμμή γιατί γέμισε αλλά τυχαία ξεκίνησε να γράφει τους αριθμούς ανάποδα (δηλαδή ενώ στην πρώτη γραμμή έγραψε 1,2,3…,50 στην δεύτερη έγραψε 100,99,…,51) στην συνέχεια πρόσθεσε τους αριθμούς που ήταν ο ένας κάτω από τον άλλο(όπως κάναμε όλοι στο δημοτικό)και έτσι πρόεκυψαν το 101* 51 που αναφέρεις πιο πάνω. Το σημαντικό όμως δεν είναι ότι βρήκε το άθροισμα των 100 πρώτων ορών αλλά οτι ηταν η αρχή για να βρεθεί ο τύπος του αθροίσματος της αριθμητικής προόδου

 

Αυτή η εκδοχή δεν μου "κάθεται". Μπορείς να γράψεις 50 αριθμούς σε μία σειρά; Και μάλιστα τους τουλάχιστον 40 διψήφιους; 1+2+...+50 και από κάτω 100+99+...+51.

Μήπως κάποιος ήθελε να υποτιμήσει τη μεγαλοφυΐα του;

[Fermat]

Να το αλλαξουμε λιγο. Το ιδιο προβλημα με τη μόνη διαφορα οτι καθε μερα ψαχνουμε ενα ντουλαπι και οχι δυο. Σε ποσες μερες μπορουμε να βρουμε το μπαλακι?

 

Είχα γράψει μία απάντηση πριν από λίγο αλλά μάλλον σβήστηκε:

#

2 3 4 ... 12 13 14 14 13 12 ... 4 3 2 (εχει μήκος 26 ημερών)

#

[Nikos_s3]

sorry Fermat, δεν κατάλαβα ότι το κείμενό σου ήταν γραμμένο σε λευκό φόντο...νόμιζα ότι κάτι ξέχασες, δεν έβγαζε νόημα και το έσβησα...

my bad...:O

[giorgaras55]

Είχα γράψει μία απάντηση πριν από λίγο αλλά μάλλον σβήστηκε:

#

2 3 4 ... 12 13 14 14 13 12 ... 4 3 2 (εχει μήκος 26 ημερών)

#

 

Πολυ σωστα. Αν εκανες και μια αναλυσουλα θα γινοταν πιο ευκολα κατανοητο για καποιον που δεν ξερει τη λυση.

 

Ο Κωστακης και ο παππους του εχουν γενεθλια την ιδια ημερομηνια. Αν τα τελευταια 6 χρονια η ηλικια του παππου ειναι ακεραιο πολλαπλασιο της ηλικιας του Κωστακη ποσα κερια θα σβησει ο καθενας στα επομενα γενεθλια?

Edited July 14, 2010 by giorgaras55

[Axwell]

Ο Κωστακης και ο παππους του εχουν γενεθλια την ιδια ημερομηνια. Αν τα τελευταια 6 χρονια η ηλικια του παππου ειναι ακεραιο πολλαπλασιο της ηλικιας του Κωστακη ποσα κερια θα σβησει ο καθενας στα επομενα γενεθλια?

 

7 ο Κωστάκης και 67 ο παππούς (1-61, 2-62, 3-63, 4-64, 5-65, 6-66)

[giorgaras55]

7 ο Κωστάκης και 67 ο παππούς (1-61, 2-62, 3-63, 4-64, 5-65, 6-66)

Πολυ σωστα. Τον γριφο με το σαλιγκαρι που ανεβαινει τη μερα 3 μετρα και το βραδυ που κοιμαται κατεβαινει 2 μετρα μαλλον τον ξερεται. Αυτον μπορει να μη τον γνωριζεται. Ειναι ενας λοφος 20 μετρων τον οποιο ενας κομμαντο θελει να ανεβοκατεβει. Την ημερα(12 ωρες) ανεβαινει 3 μετρα και το βραδυ(12 ωρες που κοιμαται) κατεβαινει 2 μετρα. Ποσες μερες(24ωρα-ημερονυκτια) θελει για να το κανει αυτο?:!:

[Axwell]

Ειναι ενας λοφος 20 μετρων τον οποιο ενας κομμαντο θελει να ανεβοκατεβει. Την ημερα(12 ωρες) ανεβαινει 3 μετρα και το βραδυ(12 ωρες που κοιμαται) κατεβαινει 2 μετρα. Ποσες μερες(24ωρα-ημερονυκτια) θελει για να το κανει αυτο?:!:

 

Θα χρειαστεί 17,5 μέρες.

[Fermat]

sorry Fermat, δεν κατάλαβα ότι το κείμενό σου ήταν γραμμένο σε λευκό φόντο...νόμιζα ότι κάτι ξέχασες, δεν έβγαζε νόημα και το έσβησα...

my bad...:O

οκ δεν πειράζει :). Απλώς δεν μπορούσα να καταλάβω τι συνέβη

 

Αν εκανες και μια αναλυσουλα θα γινοταν πιο ευκολα κατανοητο για καποιον που δεν ξερει τη λυση.

 

Κανένα πρόβλημα

 

Απλώς είδα ότι και οι άλλες απαντήσεις δεν είχαν καμία ανάλυση, γι αυτό έγραψα απευθείας την απάντησή μου.

 

Μόνο που θα αλλάξω λίγο την απάντησή μου για να συντομεύσω την απόδειξη.

 

Η καινούρια στρατηγική μου είναι: 2,3,...,14 και ξανά 2,3,...,14 (26 μέρες στο σύνολο)

___________________________________________________________

 

Το πρωί της ημέρας κ το μπαλάκι βρίσκεται στη θέση Χ(κ)

 

Παρατηρούμε ότι, από μέρα σε μέρα, το μπαλάκι εναλλάσσεται από ζυγά σε μονά ντουλάπια.

Δηλαδή θα έχουμε είτε:

μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - ...

ή

ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ...

 

Συγκεκριμένα

Αν την 1η μέρα βρίσκεται σε μονό ντουλάπι, τότε τις μονές μέρες θα βρίσκεται και πάλι σε μονό ντουλάπι ενώ τις ζυγές ημέρες θα βρίσκεται σε ζυγό ντουλάπι

Αν την 1η μέρα βρίσκεται σε ζυγό ντουλάπι, τότε τις μονές μέρες θα βρίσκεται και πάλι σε ζυγό ντουλάπι ενώ τις ζυγές ημέρες θα βρίσκεται σε μονό ντουλάπι

 

ή πιο απλά α=β mod 2 <=> Χ(α)=Χ(β) mod 2

 

 

Τις πρώτες 13 μέρες λοιπόν θα ανοίξω με τη σειρά τα ντουλάπια 2,3,...,14

 

Δηλαδή, τη μέρα κ ανοίγω το ντουλάπι που δίνεται από την ακολουθία Η(κ) = κ+1

 

Θα αποδείξω ότι:

Αν την πρώτη μέρα το μπαλάκι βρίσκεται σε ντουλάπι με ζυγό αριθμό, τότε θα το βρω σίγουρα μέσα στις 13 πρώτες ημέρες

 

Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει κ με 1<=κ<=13 για το οποίο ισχύει Χ(κ) = Η(κ)

 

Αν είναι Χ(1) = Η(1) ή Χ(13) = Η(13), η απόδειξη τελειώνει. Έστω λοιπόν ότι Χ(1) ≠ 2 και Χ(13) ≠ 14

 

Υποθέσαμε ότι το Χ(1) είναι άρτιος. Η σχέση Χ(1)>=1, σε συνδυασμό με την Χ(1) ≠ 2 γράφεται Χ(1) >= 4

Σύμφωνα με την αρχική παρατήρηση, θα είναι και ο Χ(13) άρτιος, τότε από τις Χ(13)<=15 και Χ(13) ≠ 14 παίρνουμε Χ(13) <= 12

 

Ορίζω την ακολουθία Φ(κ) = Χ(κ) - Η(κ) . Αν κάποια στιγμή αυτή μηδενιστεί, σημαίνει ότι βρήκα το μπαλάκι.

 

Επειδή οι Χ(κ), Η(κ) είναι της μορφής

ζυγός - μονός - ζυγός - μονός - ζυγός - μονός - .....

προκύπτει ότι το Φ(κ) είναι πάντα άρτιος

 

Για τη Φ(κ) ισχύουν:

Φ(1) =Χ(1) - Η(1) >= 2

Φ(13) = Χ(13) - Η(13) <= -2

 

Επειδή Χ(κ+1) - Χ(κ) = ±1

και Η(κ+1) - Η(κ) = 1

προκύπτει ότι Φ(κ+1) - Φ(κ) = 0 ή 2

 

Το Φ(κ) λοιπόν είναι πάντα άρτιος και σε κάθε βήμα είτε μειώνεται κατά 2 ή παραμένει σταθερό. Ξεκινάει από το θετικό άρτιο Φ(1) και καταλήγει στον αρνητικό άρτιο Φ(13).

Αναγκαστικά λοιπόν θα υπάρχει κ με 1<κ<13 τέτοιο ώστε Φ(κ) = 0, που σημαίνει ότι βρήκα το μπαλάκι!

 

___________________________________________________________

 

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το Χ(1) ήταν περιττός. Αναγκαστικά το Χ(14) είναι άρτιος

Είναι σαν να ξεκινάει το παιχνίδι από την αρχή, με δεδομένο ότι το μπαλάκι βρίσκεται σε άρτιο ντουλάπι. Επομένως η λύση είναι ίδια με την προηγούμενη περίπτωση, δηλαδή με τη στρατηγική 2,3,...,14 θα βρω το μπαλάκι στις επόμενες 13 μέρες

___________________________________________________________

 

 

 

Παρατηρήσεις

1. Ανάλογη θά ήταν και η απόδειξη αν το 2ο κομμάτι της ακολουθίας ήταν το 14,13,...,4,3,2
   
2. Λόγω συμμετρίας θα ισχύουν και οι λύσεις:
   14,13,...,2 || 2,3,...,14
   14,13,...,2 || 14,13,...,2
   

[Fermat]

Ειναι ενας λοφος 20 μετρων τον οποιο ενας κομμαντο θελει να ανεβοκατεβει. Την ημερα(12 ωρες) ανεβαινει 3 μετρα και το βραδυ(12 ωρες που κοιμαται) κατεβαινει 2 μετρα. Ποσες μερες(24ωρα-ημερονυκτια) θελει για να το κανει αυτο?:!:

 

Ερώτηση:

Όταν κατεβαίνει, η ταχύτητά του είναι και πάλι 3m/12h ή θα πρέπει να θεωρήσουμε διαφορετική ταχύτητα?