Fermat

Ερώτηση: Όταν κατεβαίνει, η ταχύτητά του είναι και πάλι 3m/12h ή θα πρέπει να θεωρήσουμε διαφορετική ταχύτητα?

οκ δεν πειράζει :). Απλώς δεν μπορούσα να καταλάβω τι συνέβη Κανένα πρόβλημα Απλώς είδα ότι και οι άλλες απαντήσεις δεν είχαν καμία ανάλυση, γι αυτό έγραψα απευθείας την απάντησή μου. Μόνο που θα αλλάξω λίγο την απάντησή μου για να συντομεύσω την απόδειξη. Η καινούρια στρατηγική μου είναι: 2,3,...,14 και ξανά 2,3,...,14 (26 μέρες στο σύνολο) ___________________________________________________________ Το πρωί της ημέρας κ το μπαλάκι βρίσκεται στη θέση Χ(κ) Παρατηρούμε ότι, από μέρα σε μέρα, το μπαλάκι εναλλάσσεται από ζυγά σε μονά ντουλάπια. Δηλαδή θα έχουμε είτε: μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - ... ή ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ζυγό - μονό - ... Συγκεκριμένα Αν την 1η μέρα βρίσκεται σε μονό ντουλάπι, τότε τις μονές μέρες θα βρίσκεται και πάλι σε μονό ντουλάπι ενώ τις ζυγές ημέρες θα βρίσκεται σε ζυγό ντουλάπι Αν την 1η μέρα βρίσκεται σε ζυγό ντουλάπι, τότε τις μονές μέρες θα βρίσκεται και πάλι σε ζυγό ντουλάπι ενώ τις ζυγές ημέρες θα βρίσκεται σε μονό ντουλάπι ή πιο απλά α=β mod 2 <=> Χ(α)=Χ(β) mod 2 Τις πρώτες 13 μέρες λοιπόν θα ανοίξω με τη σειρά τα ντουλάπια 2,3,...,14 Δηλαδή, τη μέρα κ ανοίγω το ντουλάπι που δίνεται από την ακολουθία Η(κ) = κ+1 Θα αποδείξω ότι: Αν την πρώτη μέρα το μπαλάκι βρίσκεται σε ντουλάπι με ζυγό αριθμό, τότε θα το βρω σίγουρα μέσα στις 13 πρώτες ημέρες Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει κ με 1<=κ<=13 για το οποίο ισχύει Χ(κ) = Η(κ) Αν είναι Χ(1) = Η(1) ή Χ(13) = Η(13), η απόδειξη τελειώνει. Έστω λοιπόν ότι Χ(1) ≠ 2 και Χ(13) ≠ 14 Υποθέσαμε ότι το Χ(1) είναι άρτιος. Η σχέση Χ(1)>=1, σε συνδυασμό με την Χ(1) ≠ 2 γράφεται Χ(1) >= 4 Σύμφωνα με την αρχική παρατήρηση, θα είναι και ο Χ(13) άρτιος, τότε από τις Χ(13)<=15 και Χ(13) ≠ 14 παίρνουμε Χ(13) <= 12 Ορίζω την ακολουθία Φ(κ) = Χ(κ) - Η(κ) . Αν κάποια στιγμή αυτή μηδενιστεί, σημαίνει ότι βρήκα το μπαλάκι. Επειδή οι Χ(κ), Η(κ) είναι της μορφής ζυγός - μονός - ζυγός - μονός - ζυγός - μονός - ..... προκύπτει ότι το Φ(κ) είναι πάντα άρτιος Για τη Φ(κ) ισχύουν: Φ(1) =Χ(1) - Η(1) >= 2 Φ(13) = Χ(13) - Η(13) <= -2 Επειδή Χ(κ+1) - Χ(κ) = ±1 και Η(κ+1) - Η(κ) = 1 προκύπτει ότι Φ(κ+1) - Φ(κ) = 0 ή 2 Το Φ(κ) λοιπόν είναι πάντα άρτιος και σε κάθε βήμα είτε μειώνεται κατά 2 ή παραμένει σταθερό. Ξεκινάει από το θετικό άρτιο Φ(1) και καταλήγει στον αρνητικό άρτιο Φ(13). Αναγκαστικά λοιπόν θα υπάρχει κ με 1<κ<13 τέτοιο ώστε Φ(κ) = 0, που σημαίνει ότι βρήκα το μπαλάκι! ___________________________________________________________ Ας υποθέσουμε τώρα ότι το Χ(1) ήταν περιττός. Αναγκαστικά το Χ(14) είναι άρτιος Είναι σαν να ξεκινάει το παιχνίδι από την αρχή, με δεδομένο ότι το μπαλάκι βρίσκεται σε άρτιο ντουλάπι. Επομένως η λύση είναι ίδια με την προηγούμενη περίπτωση, δηλαδή με τη στρατηγική 2,3,...,14 θα βρω το μπαλάκι στις επόμενες 13 μέρες ___________________________________________________________ Παρατηρήσεις Ανάλογη θά ήταν και η απόδειξη αν το 2ο κομμάτι της ακολουθίας ήταν το 14,13,...,4,3,2 Λόγω συμμετρίας θα ισχύουν και οι λύσεις: 14,13,...,2 || 2,3,...,14 14,13,...,2 || 14,13,...,2

Είχα γράψει μία απάντηση πριν από λίγο αλλά μάλλον σβήστηκε: # 2 3 4 ... 12 13 14 14 13 12 ... 4 3 2 (εχει μήκος 26 ημερών) #

ok,

Το 1/0 είναι απροσδιόριστο, σωστά; ;)

Όντως έχει φάση αλλά τα μυστικά levels δεν έχουν hint μέσα στο πηγαίο... Στο 1 έβαζα στην αρχή infinity ή οο άλλά δεν έπιανε, τώρα είμαι στο 2

Σωστά! Τελικά έχει και πιο απλή λύση, thanks! :)

Νομίζω ότι πρέπει να δώσω μία εξήγηση για τη λύση μου.. Δεν το έκανα αρχικά γιατί, όπως έγραψα, δε βρήκα έναν απλοϊκό τρόπο για να το περιγράψω Θα συμβολίζουμε με β το βαρύ και με ε το ελαφρύ. Υπάρχουν συνολικά 8 περιπτώσεις. Κάθε περίπτωση θα τη συμβολίζουμε με 3 γράμματα. Για παράδειγμα, το "ββε" θα σημαίνει Α1=βαρύ, Β1=βαρύ, Γ1=ελαφρύ. Αυτομάτως ξέρουμε το είδος των Α2,Β2,Γ2. Θα πάρουμε τις 8 δυνατές περιπτώσεις και θα καταγράψουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα. ------------------------------- περίπτωση βββ 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (ββ)--(εε) => 1 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (ββ)--(βε) => 1 Εξηγώ τους συμβολισμούς: βββ σημαίνει Α1=Β1=Γ1 = βαρύ. Αντικαθιστώ λοιπόν κάθε βαρύ με το γράμμα β και κάθε ελαφρύ με το γράμμα ε. Στην πρώτη ζύγιση υπερισχύει το αριστερό (ββ>εε), καταγράφω λοιπόν αποτέλεσμα "1". Ομοίως και στη δεύτερη ζύγιση, άρα το αποτέλεσμα για την περίπτωση βββ είναι το "1-1" ------------------------------- περίπτωση ββε 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (ββ)--(εβ) => 1 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (βε)--(ββ) => 2 ------------------------------- περίπτωση βεβ 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (βε)--(βε) => Χ 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (ββ)--(εε) => 1 ------------------------------- περίπτωση βεε 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (βε)--(ββ) => 2 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (βε)--(εβ) => Χ ------------------------------- περίπτωση εββ 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (εβ)--(εε) => 1 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (εβ)--(βε) => Χ ------------------------------- περίπτωση εβε 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (εβ)--(εβ) => Χ 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (εε)--(ββ) => 2 ------------------------------- περίπτωση εεβ 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (εε)--(βε) => 2 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (εβ)--(εε) => 1 ------------------------------- περίπτωση εεε 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) = (εε)--(ββ) => 2 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) = (εε)--(εβ) => 2 Συγκεντρωτικά έχουμε: βββ 1 - 1 ββε 1 - 2 βεβ Χ - 1 βεε 2 - Χ εββ 1 - Χ εβε Χ - 2 εεβ 2 - 1 εεε 2 - 2 Παρατηρούμε ότι κάθε συνδυασμός, πχ ο Χ-1 εμφανίζεται μόνο μία φορά στον πίνακα, και αυτό μας βοηθάει να καταλάβουμε ποια από τις 8 περιπτώσεις ισχύει (ο συνδυασμός Χ-Χ δε χρησιμοποιείται) Όλα τα παραπάνω δεν τα βρήκα με κάποια συγκεκριμένη τεχνική, αλλά με "βίαιη επίθεση". Έβαλα το excel να τα βρει για μένα :D αφού όλες οι πιθανές τοποθετήσεις δεν ήταν ευνοϊκές (δεν εμφανιζόταν ο κάθε συνδυασμός μοναδικά) ramanujan, έχεις κάποια άλλη λύση, πιο απλή;;; :worry:

Εντάξει, υπάρχει λύση αλλά ήλπιζα ότι θα έβρισκα μια πιο απλή... Συμβολίζουμε με Α1,Α2,Β1,Β2,Γ1,Γ2 τα 6 αυγά, έτσι ώστε αυτά που έχουν το ίδιο γράμμα να αποτελούν ζευγάρι. Υπάρχουν συνολικά 2^3 = 8 περιπτώσεις. Πραγματικά, έχουμε 2 περιπτώσεις για το Α1 (βαρύ ή ελαφρύ), 2 για το Β1 και 2 για το Γ1. Αν ξέρουμε τα βάρη των Α1,Β1,Γ1 βρίσκουμε και τα Α2,Β2,Γ2 Η κάθε ζύγιση έχει 3 δυνατά αποτελέσματα. 3*3 = 9, άρα επαρκούν 2 ζυγίσεις για να κωδικοποιήσουμε τις 8 περιπτώσεις, αρκεί να τοποθετήσουμε τα αυγά κατάλληλα Αν σε μία ζύγιση ο ζυγός γείρει προς τα αριστερα σημειώνουμε αποτέλεσμα 1. Αν γείρει προς τα δεξιά, σημειώνουμε αποτέλεσμα 2. Αν ισορροπήσει, σημειώσατε Χ 1η ζύγιση (Α1, Β1) --- (Β2, Γ2) 2η ζύγιση (Α1, Γ1) --- (Β1, Γ2) Αν πάρουμε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και καταγράψουμε όλα τα αντίστοιχα αποτελέσματα, θα δούμε ότι κάθε συνδυασμός των 1,2,Χ αντιστοιχεί με μοναδικό τρόπο σε μία τριάδα βαριών αυγών. Θα έχουμε: Aποτέλεσμα 1-1 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι βαρύ-βαρύ-βαρύ Aποτέλεσμα 1-X τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι ελαφρύ-βαρύ-βαρύ Aποτέλεσμα 1-2 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι βαρύ-βαρύ-ελαφρύ Aποτέλεσμα X-1 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι βαρύ-ελαφρύ-βαρύ Aποτέλεσμα X-2 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι ελαφρύ-βαρύ-ελαφρύ Aποτέλεσμα 2-1 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι ελαφρύ-ελαφρύ-βαρύ Aποτέλεσμα 2-X τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι βαρύ-ελαφρύ-ελαφρύ Aποτέλεσμα 2-2 τότε τα Α1-Β1-Γ1 είναι ελαφρύ-ελαφρύ-ελαφρύ Σημείωση Από το βάρος των Α1,Β1,Γ1 βρίσκουμε και το βάρος των Α2,Β2,Γ2. Παρατηρούμε ότι την περίπτωση Χ-Χ δεν τη χρησιμοποιούμε Υπάρχουν πολλές ακόμη λύσεις-τρόποι διάταξης των αυγών

εννοώ με πλευρά ενός σπίρτου

Μετακινήστε μόνο 3 σπίρτα και δημιουργήστε 4 τετράγωνα ίδια με το αρχικό μέγεθος http://i15.tinypic.com/8b9je2v.jpg

Συμφωνώ!!! Επίσης, του Famous Grouse. Που βάζει την κλασσική μουσική και τη διακόπτει συνεχώς. Πολύ σπαστικό :angry:

Βαλε τον γαμπρο με την κουμπαρα να παιζουν στο κρεβατι και μετα φωναξε την νυφη να τους δει!:lol: :lol: :up: :up:

ΧΕΙΡΑΨΙΕΣ (click) Αν δεν έχετε τον flash player μπορείτε να τον κατεβάσετε από εδώ

Πολύ καλό! Νόμιζα ότι δε θα είχε λύση. Μέχρι που έφτιαξα σχήμα, το οποίο με βοήθησε αρκετά... Το πιο λογικό βέβαια είναι η οικοδέσποινα να χαιρετήσει όλους τους καλεσμένους (θα ήταν αγένεια να παραλείψει κάποιον :D) Λοιπόν... Το πλήθος των ατόμων είναι 8. Άρα το μέγιστο των χειραψιών που μπορεί να έκανε κάποιος είναι 6 (αν εξαιρέσουμε τον εαυτό του και το συνοδό του) Ο οικοδεσπότης ρωτάει όλους τους παρευρισκομένους (εκτός από τον εαυτό του). Άρα και τη γυναίκα του. Αφού τα 7 άτομα έδωσαν διαφορετικές απαντήσεις, ή μόνη δυνατή περίπτωση είναι, οι απαντήσεις αυτές να είναι 0,1,2,3,4,5,6 Έστω Α,Β,Γ,Δ τα τέσσερα ζευγάρια. Κάποιος απ όλους έχει 6 χειραψίες. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός ανήκει στο ζευγάρι Α. Πάμε και ενώνουμε λοιπόν το άτομο αυτό με καθένα από τα άτομα των υπολοίπων ζευγαριών. Τώρα καθένας από τα ζευγάρια Β,Γ,Δ έχει 1 χειραψία. Επομένως το άτομο με τις 0 χειραψίες θα είναι το άλλο μέλος του ζευγαριού Α. μέχρι τώρα: Α | 6 | 0 | Β | 1 | 1 | Γ | 1 | 1 | Δ | 1 | 1 | Με τον ίδιο τρόπο... Κάποιος απ όλους έχει 5 χειραψίες, ας υποθέσουμε ότι είναι μέλος του ζευγαριού Β. Ενώνουμε το άτομο αυτό με καθένα από τα μέλη των ζευγαριών Γ και Δ. Σύνολο 5 χειραψίες, οκ Τώρα καθένας από τα Γ,Δ έχει ήδη 2 χειραψίες, άρα το άτομο με τη 1 χειραψία θα είναι το άλλο μέλος του ζευγαριού Β. μέχρι τώρα: Α | 6 | 0 | Β | 5 | 1 | Γ | 2 | 2 | Δ | 2 | 2 | Τώρα καθένας από τα Γ,Δ έχει 2 χειραψίες. Υποθέτουμε ότι ένα άτομο από το ζευγάρι Γ έχει 4 χειραψίες. Ενώνουμε αυτό το άτομο με τα δύο μέλη του Δ (σύνολο 4 χειραψίες). Οι Δ τώρα έχουν από 3 άρα το άτομο με τις 2 είναι το άλλο μέλος του ζευγαριού Γ. Τελικά έχουμε: Α | 6 | 0 | Β | 5 | 1 | Γ | 4 | 2 | Δ | 3 | 3 | Συμπέρασμα Αφού το 3 επαναλαμβάνεται καταλαβαίνουμε ότι είναι οι χειραψίες του οικοδεσπότη, άρα η οικοδέσποινα έχει επίσης 3 χειραψίες. Ή πιο αναλυτικά: Α1 Α2 Β1 Β2 Γ1 Γ2 Δ1 Δ2 Α1 0 0 1 1 1 1 1 1 Α2 0 0 0 0 0 0 0 0 Β1 1 0 0 0 1 1 1 1 Β2 1 0 0 0 0 0 0 0 Γ1 1 0 1 0 0 0 1 1 Γ2 1 0 1 0 0 0 0 0 Δ1 1 0 1 0 1 0 0 0 Δ2 1 0 1 0 1 0 0 0 όπου Α1,Α2 είναι τα μέλη του Α ζευγαριού κ.ο.κ. Το 1 στη διασταύρωση κάποιας γραμμής με κάποια στήλη δηλώνει ότι έγινε χειραψία. Υ.Γ. Θα προσπαθήσω να κάνω ένα πρόγραμμα σε flash με τη λύση Πώς μπορώ να κάνω upload στο myphone.gr?